一橋後期試験 数学
数学(120分)
注意!
私の数学力が足りず誤った解答(③)があります。この記事は解答速報ではなく受験体験記という側面が強いのでご容赦ください。後日正しいものを上げるかもしれません。
①(1)まずa=kb(kは自然数)と置く。2^b=tとする。
f(t)=t^k-1=(t-1)(t^(k-1)+t^(k-2)+……+1)
t^k-1=2^a-1,t-1=2^b-1であることに注意すると(t^(k-1)+t^(k-2)+……+1)は整数だから2^a-1は2^b-1で割り切れる。 (8分)
(2)aが素数でないとして矛盾を導く。a=1は不適。aが1でもaでもない自然数bで割り切れるとして(1)より2^a-1=(2^b-1)(整数)。b>=2ゆえ2^b-1>=3かつ2^b-1≠2^a-1より2^a-1が素数に矛盾。(13分)
(3) (1)(2)の利用の仕方がわからず悩む。飛ばした。(35分)
②f(x)=ax^2+bx+cと置く。
【積分範囲が-1~1なのでg(x)=-g(-x)となる項は積分すると消えます。またg(x)=g(-x)となるものについては0から1までの積分の二倍になります。】
(解答の続き)
計算(省略)して与えられた不等式を整理すると
(4/5)c^2+(1/3)b^2=<k(18c^2+b^2)
c=0のときk>=1/3であればよい
c≠0のとき 18c^2+b^2>0ゆえk>={(4/5)c^2+(1/3)b^2}/(18c^2+b^2)
分母分子ともにc^2で割りb^2/c^2=t(>0)とおくと不等式は
k>=1/3-(18-4/5)/(18+t)
よってこの時もk>=1/3であればよい。最小のk=1/3 (答) (50分)
③f(x)=0の解がx=0のみとすると(ⅲ)に矛盾。よってkを0でない実数、m,nをm=<nを満たす整数として
f(x)=kx(x-m)(x-n)と置ける。
f´(x)=k{3x^2-2(m+n)x+mn}
この後m=0,n=0,mn≠0の3つの場合を考えます。mn≠0のときは不適。m=0,n=0のときは(ⅲ)を満たしうる。f(2)=1からkを消去して(ⅱ)からmまたはnの範囲を絞ります(省略)。
f(x)=x^2(x-t)/{4(2-t)}(tはt=<-4またはt>=8を満たす整数) (答え)
僕は試験中t>=8しか求めずまた解が1つだけの場合を考えてなかったです。(75分)
④(1)Bに必勝法がある(2)Aに必勝法がある(90分)
(1)については特筆することはありません。(2)は(1)をうまく利用して無駄に場合分けをしないようにすることが大切だと思います。Aが初めに2個とればよいです。
⑤
Ⅱが方針が立たずまた大変そうだったのでⅠを選択して解く。①(3)へ戻る。(100分)
二倍角の公式で二乗を消し、和積の公式を使うと
1+sin(√x+1-√x)sin(√x+1+√x)になりx→0で√x+1-√x→0(要証明)ゆえ
sin(√x+1-√x)→0
あとはlsinl=<1より挟み撃ちの定理を使えばsin(√x+1-√x)sin(√x+1+√x)→0で
求める極限値は1(答え)です。
①(3)2^a-1=(2a+1)(8a+1)……(a)
【aの右辺はaの左辺より増大の速度がはやいので解は高々2個だろうとあたりをつけて解を探します。a<11は全て不可。a=11は適します。a>11で解がないことを数学的帰納法で示す。】
ほぼほぼ自明だが証明の途中で試験終了。(120分)
最後に
①(3)の(1)(2)を利用した証明わかった人がいたら教えてください。また出した答が間違っていた場合にはコメントお願いします。⑤のⅡこうやって解いたよというコメントもお待ちしてます。
一橋後期の赤本の数学の解答は必ずしも良いとはいえない(時に悪い)ので注意してください。
受験した人の合格またこれから受験することになる人の合格を願います。
追記
コメントくださった方ありがとうございます。コメント求むといっておきながら気づくのに時間がかかってしまったことをお詫びします。大学入学手続きで忙しくすぐに自分で解いてみることはできないのですが、いずれ解こうと思います。⑤のⅡは1105であろうこと、③は私の答が誤っていること、mn≠0のとき適するだろうことを教えていただきました。どうも③は場合分けが複雑でかなり厳しい問題であるように思われます。設定は真新しく面白いので僕は好きですが(間違えてしまいましたが)。
あとコメントどういうわけかコメントの一部分しか反映されてないです。なにか間違えているのでしょうか?