一橋後期試験 数学
数学(120分)
注意！
私の数学力が足りず誤った解答(③)があります。この記事は解答速報ではなく受験体験記という側面が強いのでご容赦ください。後日正しいものを上げるかもしれません。
①(1)まずa=kb(kは自然数)と置く。2^b=tとする。
f(t)=t^k-1=(t-1)(t^(k-1)+t^(k-2)+……+1)
t^k-1=2^a-1,t-1=2^b-1であることに注意すると(t^(k-1)+t^(k-2)+……+1)は整数だから2^a-1は2^b-1で割り切れる。 (8分)
(2)aが素数でないとして矛盾を導く。a=1は不適。aが1でもaでもない自然数bで割り切れるとして(1)より2^a-1=(2^b-1)(整数)。b>=2ゆえ2^b-1>=3かつ2^b-1≠2^a-1より2^a-1が素数に矛盾。(13分)
(3) (1)(2)の利用の仕方がわからず悩む。飛ばした。（35分）
②f(x)=ax^2+bx+cと置く。
【積分範囲が-1~1なのでg(x)=-g(-x)となる項は積分すると消えます。またg(x)=g(-x)となるものについては0から1までの積分の二倍になります。】
(解答の続き)
計算(省略)して与えられた不等式を整理すると
(4/5)c^2+(1/3)b^2=<k(18c^2+b^2)
c=0のときk>=1/3であればよい
c≠0のとき 18c^2+b^2>0ゆえk>={(4/5)c^2+(1/3)b^2}/(18c^2+b^2)
分母分子ともにc^2で割りb^2/c^2=t(>0)とおくと不等式は
k>=1/3-(18-4/5)/(18+t)
よってこの時もk>=1/3であればよい。最小のk=1/3 (答) (50分)
③f(x)=0の解がx=0のみとすると(ⅲ)に矛盾。よってkを0でない実数、m,nをm=<nを満たす整数として
f(x)=kx(x-m)(x-n)と置ける。
f´(x)=k{3x^2-2(m+n)x+mn}
この後m=0,n=0,mn≠0の3つの場合を考えます。mn≠0のときは不適。m=0,n=0のときは(ⅲ)を満たしうる。f(2)=1からkを消去して(ⅱ)からmまたはnの範囲を絞ります(省略)。
f(x)＝x^2(x-t)/{4(2-t)}(tはt=<-4またはt>=8を満たす整数) (答え)
僕は試験中t>=8しか求めずまた解が1つだけの場合を考えてなかったです。（75分）
④(1)Bに必勝法がある(2)Aに必勝法がある(90分)
(1)については特筆することはありません。(2)は(1)をうまく利用して無駄に場合分けをしないようにすることが大切だと思います。Aが初めに2個とればよいです。
⑤
Ⅱが方針が立たずまた大変そうだったのでⅠを選択して解く。①(3)へ戻る。(100分)
二倍角の公式で二乗を消し、和積の公式を使うと
1+sin(√x+1-√ｘ)sin(√x+1+√x)になりx→0で√x+1-√x→0(要証明)ゆえ
sin(√x+1-√ｘ)→0
あとはlsinl=<1より挟み撃ちの定理を使えばsin(√x+1-√ｘ)sin(√x+1+√x)→0で
求める極限値は1(答え)です。
①(3)2^a-1=(2a+1)(8a+1)……(a)
【aの右辺はaの左辺より増大の速度がはやいので解は高々2個だろうとあたりをつけて解を探します。a<11は全て不可。a=11は適します。a>11で解がないことを数学的帰納法で示す。】
ほぼほぼ自明だが証明の途中で試験終了。(120分)
最後に
①(3)の(1)(2)を利用した証明わかった人がいたら教えてください。また出した答が間違っていた場合にはコメントお願いします。⑤のⅡこうやって解いたよというコメントもお待ちしてます。
一橋後期の赤本の数学の解答は必ずしも良いとはいえない(時に悪い)ので注意してください。
受験した人の合格またこれから受験することになる人の合格を願います。
追記
コメントくださった方ありがとうございます。コメント求むといっておきながら気づくのに時間がかかってしまったことをお詫びします。大学入学手続きで忙しくすぐに自分で解いてみることはできないのですが、いずれ解こうと思います。⑤のⅡは1105であろうこと、③は私の答が誤っていること、mn≠0のとき適するだろうことを教えていただきました。どうも③は場合分けが複雑でかなり厳しい問題であるように思われます。設定は真新しく面白いので僕は好きですが(間違えてしまいましたが)。
あとコメントどういうわけかコメントの一部分しか反映されてないです。なにか間違えているのでしょうか？
一橋大後期試験感想 昼休み終了まで
昨日一橋大後期試験を受けてきました。第一志望の前期には合格していて後期を受け
る必要はなかったのですが、前期合格者は入学金を払い終えれば後期は必ず不合格にな
り合格枠を奪うことにならないため、また一橋の後期試験の問題がかなり面白いため受
けることに決めました。一橋後期を受けた方、今後受ける可能性がある方の参考に少し
でもなればうれしいです。
英数ともに120分。英語は長文一題、テーマ3つから一つを選ぶ100語以上の自由
英作文で構成されます。長文は記述問題がメインです。時間的にはかなり余裕があると
いえます。一方数学は5題構成で、僕が解くのが遅いこともありますが時間的にはそれ
ほど余裕を感じません。三次関数のグラフに関連した求積、整数問題などがよく出題さ
れます。大門5は選択式で一方は文理共通、もう一方は数Ⅲが必要となります。数Ⅲを
勉強している人のほうが圧倒的に有利となってしまいます。大学側としては数Ⅲ学習者
を取っておきたいというのが本音でしょうか。以下当日の感想です。
試験開始まで
国立駅へ電車で向かう。8時50分ごろ到着。
駅から大学まであまり受験生をみかけず、地図を頼りに大学に向かう。基本的に大通りを行けばいいので迷うことはないでしょう。
大学構内にはなぜか日本テレビの取材が来ていた。コロナウイルス関連の取材を申し込まれたが、断った。その日の朝に報道されたようである。
9時15分まで経済学部の試験会場に入れず、外に並ぶ列ができていた。日陰になっていて寒かったので列を離れ中央の日向になっているベンチで待つことにした。
その後試験教室へ入る。空席が目立つ。だいたい半分を切るぐらいの人数だった。
試験官がコロナウイルス対策として席がとなりあう受験者がいる場合、一方を空いてる席に移した。これに手間取って試験開始時刻を過ぎてしまったので、試験を5分遅らせることとなった。
英語(120分)
まず英作文のテーマを見る。子供のころ学んだ大切な教訓、記憶に残ってる旅、いい先生と悪い先生の違い。見た瞬間に3つ目にすることを決める。大学で教える先生に僕が先生のなんたるかを書いてみてもらうということが非常に愉快だと思った。
Ⅰ(1)略解……アメリカ社会が問題を抱えていること(自信はない)。(10分)
(2)集団の外へ排除の心理が働くこと(自信はない)。(20分)
(7)形容詞+though+S+may+be は譲歩の構文。insecureがわからず(勉強不足)文脈上通ってそうなbeneficialを選ぶ。(23分)
(8)aggressiveを選ぶ(自信あり)。(25分)
(9)a inを選ぶ。(30分)
(3)この文章で大事な役割を持つsocial capitalの訳語がわからない。とりあえず社会的行動への参加が減少と書いておいた。(40分)
(9)b atを選ぶ(41分)
(4)social capitalに苦しめられる。expansionをexplanationと見間違えて訳してしまう。(55分)
(5)traditional,religious,ethnic,and familial organizationsと書く。(65分)
(9)c,d,e 順にby,of,overと書く。(75分)
(6)oppositionの役に悩んだが、対立と訳した。other than their ownがよくわからなかったので適当に訳さざるをえなかった。(88分)
Ⅱ
いい先生か否かは生徒の興味を引き出せるか否かという無難な路線で書いた。というより自分の考えを英語にできるほどの努力を怠ってきたため妥協した。最終的に全部で122words。(105分)
読み飛ばしたⅠの文章を読んでみたり、英作文のミスの点検をした。前期では、
an assumptionをa assumptionと書いてしまう大失態を試験後気づきひどく後悔していたので念入りに点検した。(120分)
昼休み
昼休みは二時間弱あり、昼食を食べてもまだ一時間以上あった。トイレの個室に入ろうとしたらどこも満杯で1,2,3階をうろうろしていた。僕は数学の前に勉強してもほとんど効果はないし、むしろ頭が疲れるだけと考えているので、休み時間には勉強はせず好きな音楽を聴いていた。
長くなったので数学は次の記事に書きます。数学は答えが一意の定まるので方針の略解と答えを書くと思います。英語の選択肢の答えこうじゃないの？などのコメントが来たらうれしいです。
